2.3 理想气体的等容、等压、等温和绝热过程 · 教学材料

一、共通的出发点：热力学第一定律

对理想气体的任意准静态过程，第一定律写为：

dQ = dU + dW = C_V dT + P dV

其中 dU = C_V dT 是因为理想气体内能只依赖温度。四种过程的区别只在于 P 和 V 之间的约束关系不同。

二、等容过程（V = 常数）

约束

dV = 0，W = 0

第一定律退化为

Q = ΔU = C_V (T₂ − T₁)

P–T 关系

P/T = nR/V = 常数

• 吸收的热量全部用于增加内能——气体不对外做功。
• 定容热容 C_V = (f/2)R，对单原子 f = 3，双原子 f ≈ 5。
• 在 P–V 图上是一条竖直线。

三、等压过程（P = 常数）

约束

dP = 0

第一定律

Q = ΔU + PΔV = C_VΔT + nRΔT = C_PΔT

V–T 关系（盖-吕萨克定律）

V/T = nR/P = 常数

• 吸收的热量一部分增加内能，一部分对外做功。
• 定压热容 C_P = C_V + R（Mayer 关系）。
• 在 P–V 图上是一条水平线。做功量 = P(V₂ − V₁)。

四、等温过程（T = 常数）

约束

dT = 0，dU = 0

第一定律退化为

Q = W = ∫P dV = nRT ln(V₂/V₁)

P–V 关系（玻意耳定律）

PV = nRT = 常数

• 内能不变——吸收的热量 全部转化为对外做功。
• P–V 图上是双曲线。
• 等温线的斜率：dP/dV = −P/V。

五、绝热过程（Q = 0）

约束

dQ = 0

第一定律退化为

C_V dT + P dV = 0

代入状态方程消去 T，积分得到绝热方程

PV^γ = 常数， TV^γ−1 = 常数， T^γP^1−γ = 常数

其中 γ = C_P/C_V（绝热指数）。单原子 γ = 5/3，双原子 γ = 7/5。

• 对外做功完全来自内能消耗：W = −ΔU = −C_V(T₂ − T₁)。
• 膨胀时温度下降（内能→功），压缩时温度上升（功→内能）。
• 在 P–V 图上比等温线更陡：绝热线斜率 = −γP/V，等温线斜率 = −P/V。

六、四种过程的对比表